4.3 Reconocer y determinar las razones trigonometricas en familias de triangulos.

Razon Trigonometrica:

Una razón trigonométrica es una razón de las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo. Las tres razones trigonométricas básicas son el seno, el coseno, y la tangente. Éstas se abrevian como sen, cos y tan.

Ejemplos en los triangulos:

Video de las razones trigonometricas:

4.2 Aplicacion del teorema de pitagoras en la resolucion de problemas.

 FORMULAS PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS DEL TEOREMA DE PITAGORAS:

C2 = A2+B2

B2 = C2-A2

A2 = C2-B2

Problema 1: 

Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?


c2= a2+b2
c2= (6)(6)+(10)(10)
c2= 36+100
c2= 136
c= 11.66

Problema 2:

En un triangulo rectangulo, la medida de la hipotenusa es de 16 y el cateto b es de 5. Calcular el largo del cateto a.

a2= c2-b2
a2= (16)(16)-(5)(5)
a2= 256-25
a2= 231
a= 15.19

Problema 3: 

Un señor esta parado a cierta distancia de un poste de luz, el hombre quiere saber cuanto mide el poste, si sabe que la distancia de su cabeza a la punta del poste es de 20 y la distancia del hombre al poste es de 6. Calcula la altura del poste.

b2= c2-a2
b2= (20)(20)-(6)(6)
b2= 400-36
b2= 364
b= 19.07

3.5 Grafica de relaciones funcionales no lineales.

Dominio y Recorrido:

El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas  en el eje y.   Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y).

Funciones crecientes, decrecientes y constantes.

Ejemplos:  

Funcion Lineal

 

 

La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.

 

La función g(x) = -x³ es una función decreciente en los números reales.

 Funcion Constante

La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales.

 La función f(x) = x²  es una función decreciente n el intervalo de menos infinito a cero y creciente en el intervalo de cero a infinito.

3.4 Determinar los resultados de una homotecia cuando la razon es igual, menor o mayor que 1 o -1.

Homotecia:

Una homotecia es una trasformación geométrica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es una amplificación. Su definición rigurosa es vectorial.

Cuando la figura original se le coloca un factor el cual es positivo lo cual ara que se cree otra figura igual a la original pero de diferente tamaño, cuando el factor es positivo la figura aumentara, siempre y cuando el factor sea negativo la figura disminuira.

Tipos de Homotesia:

 Positiva: 

Negativa:

3.3 Determinar el teorema de tales mediante construcciones de segmentos.

 Teorema de thales:

Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

 Ejemplos del teorema de thales:

 El teorema de thales en los triangulos:

 Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

3.2 Utilizar ecuaciones cuadraticas para modelar situaciones y resolverlas usando la formula general.

Estas ecuaciones se solucionan por medio de la formula general la cual es la siguiente:

Problema 1:

Una caja mide 5 cm de altura y de ancho, cinco cm. más que de largo. Su volumen es 1500cm³. Calcular la longitud y la anchura.

1500 = 5.x. (x + 5)

Desarrollando queda 5x² + 20x - 1500 = 0.

Resolviendo la ecuación obtenemos x₁ = -20 y x₂ = 15.

La primera solución (-20) no vale, por lo tanto la solución es x = 15 cm de largo.

La caja mide: 5 x 15 x 20

Problema 2: 

Al desarmar las piezas que forman el marco de una fotografia y colocarlas alineadamete como se muestra en el dibujo se forma un rectangulo cuya area es de 72cm2 ¿cuales son las dimensiones del rectangulo que se forma? 

Fotografia:

Largo: 8  Ancho: 6     

8x+8x+6x+6x+4x2 =
4x2+28x=72 = 4x2+28x-72=0

Respuestas :

L: 36
A: 2

2.5 Interpretar y utilizar indices para explicar el comportamiento de diversas situaciones

Indice:

El índice de una base de datos es una estructura de datos que mejora la velocidad de las operaciones, permitiendo un rápido acceso a los registros de una tabla. Al aumentar drásticamente la velocidad de acceso, se suelen usar sobre aquellos campos sobre los cuales se hagan frecuentes búsquedas.

El índice tiene un funcionamiento similar al índice de un libro, guardando parejas de elementos: el elemento que se desea indexar y su posición en la base de datos. Para buscar un elemento que esté indexado, sólo hay que buscar en el índice dicho elemento para, una vez encontrado, devolver el registro que se encuentre en la posición marcada por el índice.

El espacio en disco requerido para almacenar el índice es típicamente menor que el espacio de almacenamiento de la tabla (puesto que los índices generalmente contienen solamente los campos clave de acuerdo con los que la tabla será ordenada, y excluyen el resto de los detalles de la tabla), lo que da la posibilidad de almacenar en memoria los índices de tablas que no cabrían en ella. En una base de datos relacional un índice es una copia de parte de una tabla.

Algunas bases de datos amplían la potencia del indexado al permitir que los índices sean creados de funciones o expresiones. Por ejemplo, un índice puede ser creado sobre la función upper(apellido), que almacenaría en el índice solamente las versiones mayúsculas del campo apellido. Otra opción a veces soportada, es el uso de índices "filtrados", donde las entradas del índice son creadas solamente para los registros que satisfagan una cierta expresión condicional. Un aspecto adicional de flexibilidad es permitir la indexación en funciones definidas por el usuario, también como expresiones formadas de un surtido de funciones incorporadas. Todos estos refinamientos de la indexación son soportados en Visual FoxPro, por ejemplo

2.4 Aplicar la semejanza de triangulos en el calculo de distancias o alturas inaccesibles.

El calculo de distancias o alturas de triangulos rectangulos es el procedimieno llamado Teorema de Pitagoras.

Teorema de Pitagoras:

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual, a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

Las formulas del teorema de pitagoras:

c2 = a2 + b2

b2 = c2 + a2

a2 = c2 + b2

  

Explicacion del teorema de pitagoras:

 

2.2 Utilizar ecuaciones cuadraticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorizacion

Ecuaciones Cuadraticas:

Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X² - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones. Es ecuacion cuadratica sólo si se puede poner en la forma ax² + bx + c = 0, y a no es cero.

 La(s) solucion(es) de una ecuación cuadrática se pueden calcular con la fórmula cuadrática:

Solucion de una ecuacion cuadratica:

 

2.1 Criterios de semejanza de los triangulos

Criterios de semejanza de los triangulos:

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual

1.6 Analizar la razon de cambio de un proceso que se modela con una funcion lineal y relacionarla con la inclinacion de la recta.

Razon de cambio:
Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t.  La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto del cambio "t en t, por lo que es el cociente.
Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.

También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así

Q es creciente en el instante t si

Q es decreciente en el instante t si

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+"x] es el cociente.

1.5 Calcular la medida de angulos inscritos y centrales, asi como arcos, el area de sectores circulares y de la corona.

Calcular la medida del angulo inscrito y del angulo central:

Esta medida es muy facil de solucionar ya que la medida del angulo central es el doble que la medida del angulo inscrito asi tambien el angulo inscrito es la mitad del angulo cental.

Arco: Es la medida de una parte de la circunferencia. 

Calculo de arcos:

Un perro está atado, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, a una de las esquinas exteriores de un corral de forma cuadrada, de 5 m de lado. El corral está rodeado por un campo de hierba. ¿Cuál de las siguientes opciones te permite calcular el área donde pueda pastar la cabra?  

Solucion: 

3/4 (∏*D)

Primero se seleccionan los daros del problema dado anteriormente:

Lado del Cuadrado: 5 Metros

Diametro:  6 metros

∏: 3.14

Segundo paso:

Se multiplica (∏*D) que es igual a (3.14*6) = 20.4 m

Tercer paso:

Se identifica el area de la circunferencia que es la resultante de la multiplicacion anterior que es igual a 20.4

Ultimo paso:

La medida de la circunferencia se multiplica por 3/4 y el resultado es el arco en el que puede pastar el perro.

Sectores Circulares:

Ejemplos:

1. La siguiente figura corresponde a un juego de tiro al blanco. Los puntos O, A, B, C y D están alineados y O es el centro de todos los círculos. La distancia del punto O al punto A es de 30 cm y las distancias entre los demás puntos es de 15 cm. Con estos datos calculen El área del sector D. El pi=3.15

∏: 3.15

Radio: O-A= 30 A-B-C-D= 15

Primer sector: "O"

Sacar el area del sector O.

Se multiplica (∏*r2)

(3.15*30,2) = 2835

Sector "O" = 2835

Segundo sector: "A"

Se multiplica (∏*r2)

r: 30+15 r: 45

(3.15*45,2) = 6378.75

Sector "A" = Sector "A" - Sector "O"

Sector "A" = 6378.75-2835

Sector "A" = 3543.75

Tercer sector "B"

Se multiplica (∏*r2)

r: 30+15+15 r: 60

(3.15*60,2) = 11340

Sector "B" = Sector "B" - Sector "A" - Sector "O"

Sector "B" = 11340-3543.75-2835

Sector "B" =4961.25

Corona circular:

Una corona circular es la porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos. El área de una corona circular es igual al área del círculo mayor menos el área del círculo menor.

Formula: A=  ∏(R2-r2)

Ejercicios de corona circular:

En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

A= ∏ "(700)(700)(-5)(-5)" = 1538521.5

 

1.4 Angulo Central e Inscrito en una Circunferencia

Angulo Central:

Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.

 Angulo Inscrito:

Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en  la circunferencia.

Relación entre el ángulo central y el ángulo inscrito:

La relación entre el ángulo central y el ángulo inscrito es que el ángulo central es el doble que el ángulo inscrito así como el inscrito es la mitad del ángulo central.

1.3 Caracteriazar la recta secante y la tangente en una circunferencia

Recta Secante:

La recta secante es una recta que corta a una circunferencia en dos puntos. Conforme estos puntos de corte se acercan, dicha recta se aproxima a un punto y, cuando solo existe un punto que toca la circunferencia, se le llama tangente. "Secante" proviene del término en latín para el verbo cortar.

Recta Tangente:

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1.

1.2 Congruencia de Triangulos

Congruencia de triángulos:

Se requiere que sus lados respectivos sean congruentes, es decir que tengan la misma medida. Esta condición implica que los ángulos respectivos también tienen la misma medida o son congruentes. Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homologas o correspondientes.

Criterios de congruencia de triángulos:

Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro entonces los triángulos son congruentes.

 

Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

 

Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.